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中考数学:要在作业题里发现规律

http://www.yizhongkao.com - 发布时间:2010-09-19 - 所在栏目: 中考数学
南开翔宇学校

  杨滨

  进入初三,同学们都感到作业量增加,知识难度增大,但在数量庞大的作业题中,如何将知识分类细化,发现规律,查找漏洞,是能否在紧张的学习中取胜的关键之一。因此,本次把同学们在作业里出现的易混淆、易出错的几道例题进行分析比较,和同学们共同探讨。

  例1

  如图所示,ad、dc、cb分别切半圆⊙o于点a、e、b,且ad=3cm,bc=5cm,求直径ab的长度。

  解:过点d作df⊥cb于点f

  ∵ad、cb是切线

  ∴ad⊥ab,cb⊥ab

  ∴四边形abfd是矩形

  ∴df=ab,ad=fb   ∴cf=bc-fb=bc-ad=5-3=2cm

  又∵ad、dc、cb是⊙o的切线,由切线长定理可知

  ∴ad=de,ce=cb  ∴cd=ad+cb=de+ce=3+5=8cm

  ∴在rt△dcf中,df=■=■=2■cm

  ∴ab=2■cm

  本题是典型的运用切线长定理的例题,其中直角梯形垂直于底的腰是上下底之和,再结合作高这种辅助线的做法,最后运用勾股定理求出直径。

  例2

  如图所示,cd切半圆⊙o于点e,ab为直径,ad⊥cd,bc⊥cd且ad=3cm,bc=5cm,求cd的长度。

  解:连接oe,过点a作af⊥cb于点f

  ∵ad⊥cd,bc⊥cd

  ∴四边形afcd是矩形    ∴dc=af,ad=cf

  ∴bf=bc-cf=bc-ad=5=3=2cm

  又∵cd切半圆⊙o于点e  ∴oe⊥cd于e

  ∵ad⊥cd,bc⊥cd

  ∴ad∥oe∥cb,且ab为直径,o为圆心

  ∴点e是dc的中点

  ∴线段oe是梯形abcd的中位线

  ∴oe=■(ad+bc)=4cm

  ∴ab=2oe=8cm

  ∴在rt△abf中,af=■=■=2■cm

  在做完例1后,同学们会认为例2和例1图形很类似,是同类题,但实际差别较大。例2中只有一条圆的切线,所以不符合切线长定理的条件,因此梯形垂直于底的腰不是上下底之和,而是运用了梯形中位线的知识求出圆的半径,再用勾股定理计算cd的长。

  例3

  相交两圆的半径为■和■,公共弦为4,求这两个圆的圆心距。

  解:本题分两种情况

  第一种情况,公共弦ab与连心线o1o2交于点c(即o1o2=o1c+o2c)

  ∵o1o2垂直平分弦ab  ∴ac=2

  ∴在rt△ao1c中,o1c=■=■=■

  ∴在rt△ao2c中,o2c=■=■=1

  ∴o1o2=o1c+o2c=■+1

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