一、积累整合
在学习数学的过程中，立方根是一个非常重要的概念。它不仅帮助我们理解数的性质，还在几何、物理等领域有着广泛的应用。为了更好地掌握立方根的概念和运算方法，下面我们通过一系列题目来加深对立方根的理解。
1. 判断题
(1) 如果 \( b \) 是 \( a \) 的三次幂，那么 \( b \) 的立方根是 \( a \)。
这个命题是正确的。根据立方根的定义，如果 \( b = a^3 \)，那么 \( a \) 就是 \( b \) 的立方根。换句话说，立方根就是将一个数还原为它的三次方根的过程。例如，\( 8 = 2^3 \)，所以 \( 8 \) 的立方根是 \( 2 \)。
(2) 任何正数都有两个立方根，它们互为相反数。
这个命题是错误的。实际上，任何正数只有一个立方根，并且这个立方根也是正数。与平方根不同，立方根没有“正负”之分。例如，\( 8 \) 的立方根是 \( 2 \)，而不是 \( -2 \) 或 \( 2 \) 和 \( -2 \)。
这是因为立方根的定义是唯一的，即对于任意正数 \( a \)，存在唯一的正数 \( b \)，使得 \( b^3 = a \)。
(3) 负数没有立方根。
这个命题也是错误的。事实上，负数也有立方根，而且它的立方根仍然是负数。例如，\( -8 \) 的立方根是 \( -2 \)，因为 \( (-2)^3 = -8 \)。因此，负数的立方根是存在的，并且它是唯一的。
(4) 如果 \( a \) 是 \( b \) 的立方根，那么 \( ab \geq 0 \)。
这个命题是正确的。根据立方根的定义，如果 \( a \) 是 \( b \) 的立方根，即 \( a^3 = b \)，那么 \( a \) 和 \( b \) 的符号是一致的。也就是说，如果 \( b \) 是正数，那么 \( a \) 也是正数；
如果 \( b \) 是负数，那么 \( a \) 也是负数。因此，\( ab \) 总是非负的。
2. 填空题
(5) 如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 ________。
答案是 \( 0 \) 和 \( \pm 1 \)。我们可以验证：
- \( 0 \) 的立方根是 \( 0 \)，因为 \( 0^3 = 0 \)。
- \( 1 \) 的立方根是 \( 1 \)，因为 \( 1^3 = 1 \)。
- \( -1 \) 的立方根是 \( -1 \)，因为 \( (-1)^3 = -1 \)。
因此，满足条件的数只有 \( 0 \)、\( 1 \) 和 \( -1 \)。
(6) \( \sqrt[3]{-27} = \) ________， \( (\sqrt[3]{2})^3 = \) ________。
答案分别是 \( -3 \) 和 \( 2 \)。解释如下：
- \( \sqrt[3]{-27} \) 表示 \( -27 \) 的立方根，而 \( (-3)^3 = -27 \)，因此 \( \sqrt[3]{-27} = -3 \)。
- \( (\sqrt[3]{2})^3 \) 表示 \( 2 \) 的立方根再立方，显然结果是 \( 2 \)。
(7) \( 16 \) 的平方根是 ________。
答案是 \( \pm 4 \)。因为 \( 4^2 = 16 \) 且 \( (-4)^2 = 16 \)，所以 \( 16 \) 的平方根有两个值：\( 4 \) 和 \( -4 \)。
(8) \( 8 \) 的立方根是 ________。
答案是 \( 2 \)。因为 \( 2^3 = 8 \)，所以 \( 8 \) 的立方根是 \( 2 \)。
3. 求下列各数的立方根
(9) \( 729 \)
我们知道 \( 729 = 9^3 \)，因此 \( 729 \) 的立方根是 \( 9 \)。
(10) \( -\frac{1}{27} \)
我们知道 \( -\frac{1}{27} = (-\frac{1}{3})^3 \)，因此 \( -\frac{1}{27} \) 的立方根是 \( -\frac{1}{3} \)。
(11) \( -\frac{1}{8} \)
同样地，我们知道 \( -\frac{1}{8} = (-\frac{1}{2})^3 \)，因此 \( -\frac{1}{8} \) 的立方根是 \( -\frac{1}{2} \)。
(12) \( (-5)^3 \)
显然，\( (-5)^3 = -125 \)，因此 \( (-5)^3 \) 的立方根是 \( -5 \)。
二、拓展应用
接下来，我们将通过一些实际问题来进一步应用立方根的知识。
4. 解答题
(13) 若球的半径为 \( R \)，则球的体积 \( V \) 与 \( R \) 的关系式为 \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \)。
已知一个足球的体积为 \( 6280 \, \text{cm}^3 \)，试计算足球的半径（取 \( \pi \approx 3.14 \)，精确到小数点后一位）。
解答步骤如下：
- 根据公式 \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \)，代入已知的体积 \( V = 6280 \, \text{cm}^3 \) 和 \( \pi \approx 3.14 \)，得到：
\[6280 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times R^3\]
- 简化等式：
\[6280 = 4.18666667 \times R^3\]
- 解出 \( R^3 \)：
\[R^3 = \frac{6280}{4.18666667} \approx 1500\]
- 最后，求出 \( R \)：
\[R = \sqrt[3]{1500} \approx 11.3 \, \text{cm}\]
因此，足球的半径约为 \( 11.3 \, \text{cm} \)。
(14) 已知第一个正方体纸盒的棱长为 \( 6 \, \text{cm} \)，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大 \( 127 \, \text{cm}^3 \)，求第二个纸盒的棱长。
解答步骤如下：
- 第一个正方体纸盒的体积为 \( 6^3 = 216 \, \text{cm}^3 \)。
- 第二个正方体纸盒的体积为 \( 216 + 127 = 343 \, \text{cm}^3 \)。
- 设第二个正方体纸盒的棱长为 \( x \)，则有：
\[x^3 = 343\]
- 求解 \( x \)：
\[x = \sqrt[3]{343} = 7 \, \text{cm}\]
因此，第二个正方体纸盒的棱长为 \( 7 \, \text{cm} \)。
三、探索创新
5. 阅读理解题
(15) 判断下列各式是否正确成立。判断完以后，你有什么体会？你能否得到更一般的结论？若能，请写出你的一般结论。
(1) \( \sqrt[3]{8} = 2 \)
(2) \( \sqrt[3]{27} = 3 \)
(3) \( \sqrt[3]{64} = 4 \)
(4) \( \sqrt[3]{125} = 5 \)
以上四个式子都是正确的。我们可以看到，每个式子中的被开方数都是某个整数的三次方，而立方根的结果正是那个整数。例如，\( 8 = 2^3 \)，所以 \( \sqrt[3]{8} = 2 \)；同理，\( 27 = 3^3 \)，所以 \( \sqrt[3]{27} = 3 \)。
从这些例子中，我们可以得出一个更一般的结论：对于任意正整数 \( n \)，有：
\[\sqrt[3]{n^3} = n\]
这个结论表明，任何正整数的三次方的立方根就是它本身。这一规律不仅适用于正整数，还可以推广到所有实数。对于任意实数 \( a \)，有：
\[\sqrt[3]{a^3} = a\]
这是因为立方根的定义就是将一个数还原为它的三次方根的过程，无论这个数是正数、负数还是零，立方根的结果总是唯一的。
通过以上练习，我们不仅掌握了立方根的基本概念和运算方法，还学会了如何在实际问题中应用立方根的知识。立方根作为数学中的一个重要工具，帮助我们解决了许多几何、物理等领域的问题。希望通过对这些题目的练习，大家能够更加熟练地运用立方根，进一步提升自己的数学能力。